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如图.在组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥,且AB=2,P∈平面CC1D1D,PD=PC=AD=
2
.PC∥平面AB1D
(1)求证:PD⊥平面PBC;
(2)若AA1=a,求a值;
(3)求点C1到平面PAB的距离;
(4)若点P,A,D,C1在同一球面上,求此球面的面积.
分析:(1)要证线面垂直,只需证线线垂直.据PD=PC=
2
,AB=2,可得PD⊥PC;BC⊥平面PDC,可得PD⊥BC,从而得证.

(2)若PC∥平面AB1D,据线面平行的性质定理可得PC∥DC1,知∠CDC1=∠PCD=45°,则AA1=CD=2即可.

(3)欲求点C到平面PAB的距离,直接由点C作平面PAB的垂线,需补形,不易作出,考虑用等积法完成,十分简洁.

(4)在条件及(2)的前提下,可知PD,PA,PC1两两垂直,引导学生分析:点P,A,D,C1所在的球面就是以PD,DC1,AD为相邻三条棱的长方体的外接球面,从而可求此球面的直径,可求出球面的面积.
解答:证明:(1)∵ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,
∴BC⊥平面CC1D1D,
∵P∈平面CC1D1D,
∴PD?平面CC1D1D,
∴PD⊥BC.
PD=PC=
2
,AB=2,
∴△PCD为等腰直角三角形,
∴PD⊥PC.
∵PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC,
∴PD⊥平面PBC.
解:(2)当a=2时,四边形CC1D1D是一个正方形,
∴∠CDC1=45°,
∵∠PCD=45°,
又PC和C1D在同一个平面内,
∴PC∥DC1
∵DC1?平面AB1D,PC?平面AB1D,
∴PC∥平面AB1D.
(3)过点P作PE⊥CD交CD于E,
∵面ABCD⊥面PDC,面ABCD∩面PDC=CD,
∴PE⊥平面ABCD,
∴PE=1.
连接AC,设点C到平面PAB的距离为h,
三棱锥P-ABC的体积与三棱锥C-PAB的体积相等,
1
3
S△ABC•PE=
1
3
S△PAB•h

∵PA=PD=2,AB=2,
S△PAB=
1
2
×2×
3
2
×2=
3

S△ABC=
1
2
×2×
2
=
2

1
3
×
2
×1=
1
3
×
3
h
h=
6
3

∴点C到平面PAB的距离为
6
3

(4)∵AD⊥平面CC1D1D(6),PD,DC1在平面CC1D1D内,
AD⊥PD,AD⊥DC1
由(2)知∠PDC1=90°,
即PD⊥DC1
∴PD,PA,PC1两两垂直,
∴点P,A,D,C1所在的球面就是以PD,DC1,AD为相邻三条棱的长方体的外接球面,
PD=AD=
2
DC1=2
2

∴此球面的直径2R=2
3

∴球面的半径R=
3

∴所求球面的面积为R2=4π(
3
)2=12π
点评:本题考查点、线、面间的距离和计算,综合性性,难度大,是高考的重点,计算繁琐,容易出错.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.解题时要认真审题,注意化立体问题为平面问题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC1D1D且PD=PC=
2

(Ⅰ)证明:PD⊥平面PBC;
(Ⅱ)若AA1=a,当a为何值时,PC∥平面AB1D.

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如图,在组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AA1=a,AB=2,BC=3,点P∈平面CC1D1D且PD=PC=
2


(Ⅰ)在正视图右边及下方区域画出其侧视图、俯视图(在答卷上作答)
(II)证明:PD⊥平面PBC;
(III)证明:当a=2时,PC∥平面AB1D.

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(2008•佛山一模)如图,在组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC1D1D且PD=PC=
2

(Ⅰ)证明:PD⊥平面PBC;
(Ⅱ)求PA与平面ABCD所成的角的正切值;
(Ⅲ)若AA1=a,当a为何值时,PC∥平面AB1D.

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如图.在组合体中,ABCD-A1B1C1D1是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥,且AB=2,P∈平面CC1D1D,PD=PC=AD=
2

(1)求证:PD⊥平面PBC;
(2)若AA1=a,当a为何值时,PC∥平面AB1D;
(3)在(2)的前提下,若点P,A,D,C1在同一球面上,求此球面的面积.

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