Question

8．如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x²+y²-4y-4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．
（1）求双曲线的方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为F₁、F₂，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F₁PF₂是直角．

Answer 1

分析 （1）根据上半个圆所在圆的方程得出两圆的圆心与半径，再求出双曲线的顶点坐标与标准方程；
（2）设点P的坐标，根据∠F₁PF₂是直角得出方程x²+y²=8，分别与双曲线和圆的方程联立，即可求出点P的坐标，注意检验，排除不合题意的坐标．

解答 解：（1）上半个圆所在圆的方程为x²+y²-4y-4=0，圆心为（0，2），半径为2$\sqrt{2}$；
则下半个圆所在圆的圆心为（0，-2），半径为2$\sqrt{2}$；
双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（-2，0），（2，0），即a=2，
由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±2$\sqrt{2}$，
即有交点为（±2$\sqrt{2}$，2）；
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
则$\frac{8}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，且a=2，解得b=2；
所以双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）双曲线的左、右焦点为F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F₂（2$\sqrt{2}$，0），
若∠F₁PF₂是直角，设点P（x，y），则有x²+y²=8，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}=8}\\{{x}^{2}{-y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得x²=6，y²=2；
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}=8}\\{{x}^{2}{+（y±2）}^{2}=8}\end{array}\right.$，
解得y=±1（不满足题意，应舍去）；
所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为（±$\sqrt{6}$，$\sqrt{2}$）和（±$\sqrt{6}$，-$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了双曲线的标准方程的求法问题，也考查了圆与圆、圆与双曲线的位置关系，是综合性题目．