Question

【题目】，.

（1）若在是增函数，求实数a的范围；

（2）若在上最小值为3，求实数a的值；

（3）若在时恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先求导得到，根据在上是增函数，转化为在上恒成立，即在上恒成立求解，

（2）由（1）知，结合，分，，三种情况讨论求解；

（3）将在时恒成立，转化为在时恒成立，令，用导数法求其最小值即可.

（1）∵，∴.

∵在上是增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立.

令，则，.

∵在上是增函数，∴，∴.

所以实数a的取值范围为；

（2）由（1）得，.

①若，即，则，即在上恒成立，

此时在上是增函数，所以，解得（舍去）；

②若，即，令，得.

当时，，所以在上是减函数，

当时，，所以在上是增函数.

所以，解得（舍去）；

③当时，在上恒成立，

∴在区间为减函数，∴，解得.

综上可得，；

（3）因为，在时恒成立，所以，在时恒成立，

即，在时恒成立，

令，所以，

设，所以在时恒成立，

所以在上是增函数，即在上是增函数，

所以，所以在上是增函数，所以，

所以，解得，所以的取值范围.