【题目】已知函数.
(Ⅰ)若,证明:函数
是
上的减函数;
(Ⅱ)若曲线在点
处的切线与直线
平行,求
的值;
(Ⅲ)若,证明:
(其中
…是自然对数的底数).
【答案】(I)详见解析;(II);(III)详见解析.
【解析】试题分析:
(1)由题意二次求导可得,函数
是
上的减函数.
(2)利用题意由导函数研究函数的切线得到关于a的方程,解方程可得.
(3)原不等式等价于,结合(1)的结论构造函数,令
,可证得
.
试题解析:
(Ⅰ)当时,函数
的定义域是
,所以
,
令,只需证:
时,
.
又,
故在
上为减函数,
所以,
所以,函数
是
上的减函数.
(Ⅱ)由题意知, ,且
,
所以,即有
,
令,
,
则,
故是
上的增函数,又
,因此
是
的唯一零点,
即方程有唯一实根
,所以
.
(Ⅲ)因为
,
故原不等式等价于,
由(Ⅰ)知,当时,
是
上的减函数,
故要证原不等式成立,只需证明:当时,
,
令,则
,
在
上的增函数,
所以,即
,故
,
即.
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【题目】设函数.
(1)若是函数
的极值点,1为函数
的一个零点,求函数
在
上的最小值.
(2)当时,函数
与
轴在
内有两个不同的交点,求
的取值范围.(其中
是自然对数的底数)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=x+ ,且f(1)=2.
(1)求m的值;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)用定义法证明f(x)在区间(1,+∞)上是增函数.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数,
).以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,与直角坐标系
取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)设为曲线
上任意一点,求
的取值范围;
(Ⅱ)若直线与曲线
交于两点
,
,求
的最小值.
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【题目】某农科所发现,一种作物的年收获量 (单位:
)与它“相近”作物的株数
具有线性相关关系(所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过
),并分别记录了相近作物的株数为
时,该作物的年收获量的相关数据如下:
(1)求该作物的年收获量 关于它“相近”作物的株数
的线性回归方程;
(2)农科所在如图所示的直角梯形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点)处都种了一株该作物,图中
每个小正方形的边长均为 ,若从直角梯形地块的边界和内部各随机选取一株该作物,求这两株作物 “相
近”且年产量仅相差 的概率.
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估
计分别为, ,
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