Question

【题目】已知函数f（x）=x+ ，且f（1）=2．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）用定义法证明f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=x+ ，且f（1）=2，

可得1+m=2，即有m=1；

（2）解：f（x）=x+ 为奇函数．

理由：定义域为{x|x≠0}关于原点对称．

且f（﹣x）=﹣x+ =﹣f（x），

则f（x）为奇函数；

（3）证明：设x1＞x2＞1，

则f（x1）﹣f（x2）=x1+ ﹣（x2+ ）

=（x1﹣x2）+

=（x1﹣x2）（1﹣ ），

由x1＞x2＞1，可得x1x2＞1，x1﹣x2＞0，1﹣ ＞0，

可得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．

即f（x）在区间（1，+∞）上是增函数

【解析】（1）代入x=1，解方程可得m的值；（2）f（x）=x+ 为奇函数．运用奇函数的定义，注意定义域关于原点对称，f（﹣x）=﹣f（x）；（3）运用单调性的定义证明，设值、作差、变形和定符号、下结论等步骤．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数的奇偶性的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称才能正确解答此题．