Question

【题目】已知椭圆： （）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，斜率为的直线与椭圆交于， 两点，点在直线的左上方.若，且直线， 分别与轴交于， 点，求线段的长度.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析: (1)由已知条件求出 的值,得出椭圆方程; (2)设直线 的方程, 联立直线与椭圆方程,求出两根之和,两根之积,求出 ,得到为等腰直角三角形,求出线段 的长.

试题解析:（1）由题意知，解之，得.

所以椭圆的方程为；

（2）设直线， ，

将代入中，化简整理，得，

，得，

于是有， ， ，

注意到，

上式中，分子

，

从而， ，由，可知，

所以是等腰直角三角形， ，即为所求.

点睛:本题主要考查了求椭圆方程以及直线与椭圆相交时求另一线段的长,计算量比较大,属于中档题.解题思路:在(1)中,直接由已知条件得出;在(2)中,通过求出,而,得出,得到为等腰直角三角形,再求出线段 的长.