[题目]已知函数f(x)＝.数列{an}满足a1＝1.an+1＝f(an)(n∈N*)．(1)证明数列{}是等差数列.并求出数列{an}的通项公式,(2)记Sn＝a1a2+a2a3+-+anan+1.求Sn．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)．

(1)证明数列{}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；

(2)记Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1，求Sn．

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由已知得，两边去倒数，由等差数列的定义证明是等差数列，再求出通项公式；（2）由裂项相消法求出前n项和。

试题解析：(1)证明：由已知得，an＋1＝.

∴＝＋3.

即－＝3.

∴数列{}是首项＝1，公差d＝3的等差数列．

∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2.

故an＝ (n∈N*)

(2)∵anan＋1＝＝ (－)

∴Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1

＝ [(1－)＋(－)＋…＋(－)]

＝ (1－)＝.

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