【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+1,a,b∈R,当x=﹣1时,函数f(x)取到最小值,且最小值为0;
(1)求f(x)解析式;
(2)关于x的方程f(x)=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:x=﹣1时,函数f(x)取到最小值,且最小值为0,
∴﹣ =﹣1,f(﹣1)=a﹣b+1=0,
解得a=1,b=2,
∴f(x)=x2+2x+1
(2)解:f(x)=|x+1|﹣k+3,
∴x2+2x+1=|x+1|﹣k+3,
即(x+1)2=|x+1|﹣k+3,
设|x+1|=t,t≥0,
∴t2﹣t+k﹣3=0,
∵x的方程f(x)=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解,
∴关于t的方程由两个相等的根或有一个正根,
∴△=1﹣4(k﹣3)=0,或
解得k= ,或k<3,
故有k的取值范围为{k|k= ,或k<3}
【解析】(1)根据函数的对称轴和函数的最值,即可求出函数的解析式,(2)设|x+1|=t,t≥0,得到t2﹣t+k﹣3=0,由x的方程f(x)=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解,得到关于t的方程由两个相等的根或有一个正根,解得即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握当时,抛物线开口向上,函数在
上递减,在
上递增;当
时,抛物线开口向下,函数在
上递增,在
上递减.
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【题目】已知a<1,集合A={x|x<a﹣2或x>﹣a},集合B={x|cos(xπ)=1},全集U=R.
(1)当a=0时,求(UA)∩B;
(2)若(UA)∩B恰有2个元素,求实数a的取值范围.
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【题目】2017年某市街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车,这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题.然而,这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题,比如乱停乱放,或将共享单车占为“私有”等.为此,某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人,他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表:
年龄 | ||||||
受访人数 | 5 | 6 | 15 | 9 | 10 | 5 |
支持发展共享单车人数 | 4 | 5 | 12 | 9 | 7 | 3 |
(Ⅰ)由以上统计数据填写下面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系:
年龄低于35岁 | 年龄不低于35岁 | 合计 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合计 |
(Ⅱ)若对年龄在的被调查人中随机选取两人,对年龄在
的被调查人中随机选取一人进行调查,求选中的3人中支持发展共享单车的人数为2人的概率.
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式: ,其中
.
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【题目】如图所示,平面ABDE⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,四边形ABDE是直角梯形,BD∥AE,BD⊥BA,BD=AE=2,O,M分别为CE,AB的中点.
(1)求证:OD∥平面ABC;
(2)求直线CD和平面ODM所成角的正弦值;
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【题目】在某大学联盟的自主招生考试中,报考文史专业的考生参加了人文基础学科考试科目“语文”和“数学”的考试.某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示,本次考试中成绩在内的记为
,其中“语文”科目成绩在
内的考生有10人.
(1)求该考场考生数学科目成绩为的人数;
(2)已知参加本考场测试的考生中,恰有2人的两科成绩均为.在至少一科成绩为
的考生中,随机抽取2人进行访谈,求这2人的两科成绩均为
的概率.
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【题目】已知函数f(x)=,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*).
(1)证明数列{}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式;
(2)记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,求Sn.
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【题目】下列给出四组函数,表示同一函数的是( )
A.f(x)=x﹣1,g(x)= ﹣1
B.f(x)=2x+1,g(x)=2x﹣1
C.f(x)=|x|,g(x)=
D.f(x)=1,g(x)=x0
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【题目】河南多地遭遇跨年霾,很多学校调整元旦放假时间,提前放假让学生们在家里躲霾,郑州市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》.自12月29日12时将黄色预警升级为红色预警,12月30日0时启动I级响应,明确要求:“幼儿园、中小学等教育机构停课,停课不停学”,学生和家长对停课这一举措褒贬不一,有为了健康赞成的,有怕耽误学习不赞成的.某调查机构为了了解公众对该举措的态度,随机调查采访了50人,将调查情况整理汇总成下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 6 | 9 | 6 | 3 | 4 |
(1)请补全被调查人员年龄的频率分布直方图;
(2)若从年龄在的被调查者中分别随机选取一人进行追踪调查,求这两人都赞成“停课”这一举措的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
(
为参数,
),其中
,在以
为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
,曲线
.
(Ⅰ)求与
交点的直角坐标系;
(Ⅱ)若与
相交于点
,
与
相交于点
,求
的最大值.
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