Question

甲、乙、丙三名教师指导五名学生a、b、c、d、e参加全国高中数学联赛，每位老师至少指导一名学生，教师甲资历最老，只指导其中的一名学生．
（I）求教师甲指导学生a的概率；
（II）求教师乙至少指导两名学生的概率；
（III）设教师丙指导学生的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5名学生中选1个，共有C₅¹种结果，而满足条件的事件只有一种，根据古教师丙指导学生的人数为ξ典概型概率公式得到结果．
（II）教师乙至少指导两名学生的对立事件是教师乙只指导一名学生，做出教师乙只指导一名学生的概率，利用对立事件的概率公式得到结果．
（III）教师丙指导学生的人数为ξ，根据每位老师至少指导一名学生，教师甲资历最老，只指导其中的一名学生，得到变量的可能取值，写出分布列，求出期望．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是从5名学生中选1个，共有C₅¹种结果，
而满足条件的事件只有一种，
设教师甲指导学生a为事件A，
∴P（A）=

1

C 1 5

=

1

5

（Ⅱ）设教师乙只指导一名学生为事件B，
则教师乙至少指导两名学生为事件B的对立事件

B

，
∵P（B）=

A 2 5

C 1 5 ( C 1 4 + 1 2 C 2 4 ) A 2 2

=

2

7

∴P（

B

）=1-P（B）=

5

7

（Ⅲ）教师丙指导学生的人数为ξ，由题意知知ξ=1，2，3，
P（ξ=1）=

C 1 5 C 1 2

C 1 5 ( C 1 4 + 1 2 C 2 4 ) A 2 2

=

2

7

；

P（ξ=2）=

C 1 5 C 2 4

C 1 5 ( C 1 2 + 1 2 C 2 4 ) A 2 2

=

3

7

P（ξ=3）=

C 1 5 C 3 4

C 1 6 ( C 1 4 + 1 2 C 2 4 ) A 2 2

=

2

7

∴ξ的分布列为

∴E_ξ=

1×2

7

+

2×3

7

+

3×2

7

=2．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望问题，考查古典概型，考查对立事件的概率，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，是可以得满分的一道题目．