Question

某学校高一年级开设了A，B，C，D，E五门选修课．为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程．假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；
（Ⅲ）设随机变量X为甲、乙、丙这三名学生参加A课程的人数，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）每个学生选修一门课程，有5种选法，由分步乘法原理即可求解．
（Ⅱ）“甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程”的对立事件为“三名学生选择三门不同选修课程”，利用对立事件的概率关系求解．
（Ⅲ）X的所有可能取值为：0，1，2，3，利用古典概型分别求概率，列出分布列求期望即可．

解答：解：（Ⅰ）甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种，
故共有5×5×5=125（种）．
（Ⅱ）三名学生选择三门不同选修课程的概率为：

A 3 5

53

=

12

25

．
∴三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为：1-

12

25

=

13

25

．
（Ⅲ）由题意：X=0，1，2，3
.P(X=0)=

43

53

=

64

125

；
P(X=1)=

C 1 3 •42

53

=

48

125

；
P(X=2)=

C 2 3 •4

53

=

12

125

；
P(X=3)=

C 3 3

53

=

1

125

．
ξ的分布列为

数学期望EX=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

125

+3×

1

125

=

3

5

．

点评：本题考查计数原理、古典概型、及离散型随机变量的分布列和期望，难度不大．