Question

在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.

（1）求证：平面PAC；

（2）若，求PB与AC所成角的余弦值；

（3）若PA=，求证：平面PBC⊥平面PDC

 

Answer 1

【答案】

（1）由线线平行证得 （2） （3）求得从而证明.

【解析】

试题分析：（1）证：因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD. 所以PA⊥BD，又AC∩PA=A

所以BD⊥平面PAC.   

（2）解：过B作BM//AC交DA延长线于M，连接PM ∠PBM或其补角为所求

因为BM//AC AM//BC 所以四边形MACB为平行四边形 所以BM=AC=2，PB=PM=,所以

 .

(3) 作BH⊥PC,连接HD

PA⊥平面ABCD,AD="AB" PB=PD,又CD="CB" PC="PC" △PBC≌△PDC

BH⊥PC HD⊥PC 因此∠BHD为二面角B-PC-D的平面角

因为AP= BC="2" 有BH=

 所以 面PBC⊥面PDC. 

考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．

点评：本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的

夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算

求解能力.