在四棱锥中,
平面
,底面
为矩形,
.
(Ⅰ)当时,求证:
;
(Ⅱ)若边上有且只有一个点
,使得
,求此时二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时,底面ABCD为正方形,
又因为,
………………2分
又,得证。
第二问,建立空间直角坐标系,则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》
要使,只要
所以,即
………6分
由此可知时,存在点Q使得
当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得
由此知道a=2, 设平面POQ的法向量为
,所以
平面PAD的法向量
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
解:(Ⅰ)当时,底面ABCD为正方形,
又因为,
又
………………3分
(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直,分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系,如图所示,
则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要
所以,即
………6分
由此可知时,存在点Q使得
当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得由此知道a=2,
设平面POQ的法向量为
,所以
平面PAD的法向量
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
科目:高中数学 来源:2011年普通高中招生考试北京市高考理科数学 题型:解答题
(本小题共14分)
如图,在四棱锥中,
平面
,底面
是菱形,
.
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)若求
与
所成角的余弦值;
(Ⅲ)当平面与平面
垂直时,求
的长.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年甘肃省兰州市高三第一次(3月)诊断考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,在四棱锥中,
平面
,底面
是菱形,
,
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,求二面角
的余弦值.
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科目:高中数学 来源:2010-2011云南省高一下学期期末考试数学 题型:解答题
本小题满分12分)如图所示,在四棱锥中,
平面
,底面
是直角梯形,
,
。
(1)求证:平面平面
;
(2)若,求二面角
的大小。
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