Question

己知椭圆的焦点在x轴上，它的一个焦点与抛物线x²=4y的焦点之间的距离为，离心率e=，过椭圆的左焦点厂做一条与坐标轴不垂直的直线L交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点M（m，0）是线段OF₁上的一个动点，且（+）⊥，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）抛物线的焦点为（0，1），设椭圆的右焦点（c，0 ），则由题意可得 =，
∴c=2，∴再由离心率可得 a=，b=1，故椭圆的标准方程为 =1．
（2）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简可得 （1+5k²）x²+20k²x-5=0，
∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴（+）=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂ ）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）．
由（+）⊥，可得 （+）•=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂ ）•（x₂-x₁，y₂-y₁）
=（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0，
化简可得 x₁+x₂-2m+k²（x₁+x₂+4）=0，∴2m=4k²-，
∴m=-=-．∵k²＞0，∴0＜＜，
∴-＜m＜0． 故m的取值范围是[-，0）．
分析：（1）根据题意设椭圆的右焦点（c，0 ），则由题意可得 =，求出c值，由离心率可得 a，求出b值，即得椭圆的标准方程．
（2）设直线l的方程为 y=k（x+2），代入椭圆的方程化简，把根与系数的关系代入（+）•=0，解得 m=-=-，再利用不等式的性质求出m的取值范围．
点评：本题考查求椭圆的标准方程，两个向量的数量积公式，不等式的性质，求出m=-=-，是解题的关键，
属于中档题．