Question

设正项等比数列{a_n}的首项a₁=

1

2

，前n项和为S_n，且210S30-(210+1)S20+S10=0，则a_n=

 

．

Answer 1

分析：由已知得到数列为正项等比数列，首项为

1

2

，求通项公式a_n，只要求出公比q就可以了；又已知2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0，经过化简可以得出，

a21+a22+…+a30

a11+a12+…+a20

=q¹⁰=2^-10，即得出公比，再利用通项公式即可．

解答：解：∵2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=2¹⁰（S₃₀-S₂₀）-（S₂₀-S₁₀）=2¹⁰（a₂₁+a₂₂+…+a₃₀）-（a₁₁+a₁₂+…+a₂₀）=0，
∴

a21+a22+…+a30

a11+a12+…+a20

=2^-10，
∵数列{a_n}为正项等比数列，公比为q，
∴

a21+a22+…+a30

a11+a12+…+a20

=q¹⁰=2^-10，
∴q=

1

2

，
∴an=a₁q^n-1=

1

2n

．
故答案为

1

2n

．

点评：本题主要考查利用等比数列的定义求解通项公式，属于基本题型，本题出现了S₁₀、S₂₀、S₃₀，对于等比数列来说，还有一个重要的等式需要我们牢记：S₁₀²+S₂₀²=S₁₀（S₂₀+S₃₀），