Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈（0，1]时，f（x）=2tx-4x³（t为常数）
（1）求f（x）的表达式；
（2）当0＜t≤6时，用定义证明f（x）在上单调递增；
（3）当t＞6时，是否存在t使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上．若存在，求出t的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设x∈[-1，0），则-x∈（0，1]，
∴f（-x）=-2tx+4x³，
∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=2tx-4x³，
∴f（x）的表达式为：f（x）=．
（2）解：先设x₁、x₂∈，令x₁＜x₂，则有x₁-x₂＜0．
f（x₁）-f（x₂）=2tx₁-4x₁³-（2tx₂-4x₂³）
=2t（x₁-x₂）-4（x₁³-x₂³）=（x₁-x₂）[2t+4（x₁²+x₂x₁+x₂²）]
∵x₁、x₁∈，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在上单调递增．
（3）当t＞6时，，由（2）得f（x）在[-1，1]上单调递增，
令f（1）=12，存在t=8，满足条件．
分析：（1）设x∈[-1，0），则-x∈（0，1]，适合当x∈（0，1]时，f（x）=2tx-4x³，求得f（-x），再由奇函数求得f（x）．
（2）先在[-1，1]上任取两变量，且界定大小，再作差变形看符号；
（3）当t＞6时，，由（2）得f（x）在[-1，1]上单调递增，令f（1）=12，从而得出存在t，满足条件．
点评：本题综合考查函数奇偶性与函数解析式的求解及常用方法，把要求区间上的问题转化到已知区间上求解，是解题的关键，体现了转化的数学思想方法．属中档题；还考查用单调性定义证明函数的单调性，要注意变量的任意性和变形要到位．