Question

2．如图，A，B，C的坐标分别为（-$\frac{c}{2}$，0），（$\frac{c}{2}$，0），（m，n），G，O′，H分别为△ABC的重心，外心，垂心．
（1）写出重心G的坐标；
（2）求外心O′，垂心H的坐标；
（3）求证：G，H，O′三点共线，且满足|GH|=2|OG′|．

Answer 1

分析 （1）根据重心坐标公式即可求出，
（2）设外心O′，垂心H的坐标为（0，a），（m，b），根据向量的坐标运算得到$\overrightarrow{BC}$=（m-$\frac{c}{2}$，n），D的坐标为（$\frac{c}{4}$+$\frac{m}{2}$，$\frac{n}{2}$），$\overrightarrow{O′D}$=（$\frac{c}{4}$+$\frac{m}{2}$，$\frac{n}{2}$-a），$\overrightarrow{AH}$=（m+$\frac{c}{2}$，b），由题意得到由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{O′D}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，化简计算得到即$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4{m}^{2}+4{n}^{2}-{c}^{2}}{8n}}\\{b=\frac{-4{m}^{2}+{c}^{2}}{4n}}\end{array}\right.$，即可求出外心O′，垂心H的坐标；
（3）根据向量的坐标运算得到$\overrightarrow{GH}$=2$\overrightarrow{O′G}$，根据向量的共线条件即可证明．

解答 解：（1）重心G的坐标为（$\frac{m}{3}$，$\frac{n}{3}$），
（2）设外心O′，垂心H的坐标为（0，a），（m，b），BC的中点为D，
∵A，B，C的坐标分别为（-$\frac{c}{2}$，0），（$\frac{c}{2}$，0），（m，n），
∴$\overrightarrow{BC}$=（m-$\frac{c}{2}$，n），D的坐标为（$\frac{c}{4}$+$\frac{m}{2}$，$\frac{n}{2}$），
∴$\overrightarrow{O′D}$=（$\frac{c}{4}$+$\frac{m}{2}$，$\frac{n}{2}$-a），$\overrightarrow{AH}$=（m+$\frac{c}{2}$，b），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{O′D}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{c}{4}+\frac{m}{2}）（m-\frac{c}{2}）+（\frac{n}{2}-a）•n=0}\\{（m+\frac{c}{2}）（m-\frac{c}{2}）+bn=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4{m}^{2}+4{n}^{2}-{c}^{2}}{8n}}\\{b=\frac{-4{m}^{2}+{c}^{2}}{4n}}\end{array}\right.$，
∴外心O′的坐标为（0，$\frac{4{m}^{2}+4{n}^{2}-{c}^{2}}{8n}$），垂心H的坐标为（m，$\frac{-4{m}^{2}+{c}^{2}}{4n}$），
（3）由（1）（2）可知$\overrightarrow{GH}$=（$\frac{2m}{3}$，$\frac{-12{m}^{2}-4{n}^{2}+3{c}^{2}}{12n}$），
$\overrightarrow{O′G}$=（$\frac{m}{3}$，$\frac{-12{m}^{2}-4{n}^{2}+3{c}^{2}}{24m}$），
得$\overrightarrow{GH}$=2$\overrightarrow{O′G}$，
∴G，H，O′三点共线，且满足|GH|=2|OG′|．

点评 本题考查了向量在几何中的应用，关键是掌握坐标的运算法则和向量的数量积的运算，属于中档题．