Question

【题目】设平面直角坐标系xOy中，曲线G：y= + x﹣a2（x∈R），a为常数．
（1）若a≠0，曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，求经过这三个交点的圆C的一般方程；
（2）在（1）的条件下，求圆心C所在曲线的轨迹方程；
（3）若a=0，已知点M（0，3），在y轴上存在定点N（异于点M）满足：对于圆C上任一点P，都有 为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=0，得曲线与y轴的交点是（0，﹣a2），

令y=0，则 + x﹣a2=0，解得x=﹣2a或x=a，

∴曲线与x轴的交点是（﹣2a，0），（a，0）．

设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则 ，

解得D=a，E=a2﹣2，F=﹣2a2，

∴圆的一般方程为x2+y2+ax+（a2﹣2）y﹣2a2=0；

（2）解：由（1）可得C（﹣ ， ）

设C（x，y），则x=﹣ ，y= ，消去a，得到y=1﹣2x2，

∵a≠0，

∴x≠0，

∴圆心C所在曲线的轨迹方程为y=1﹣2x2（x≠0）

（3）解：若a=0，圆C的方程为x2+（y﹣1）2=1，

令x=0，得到圆C与y轴交于点（0，0），（0，2）

由题意设y轴上的点N（0，t）（t≠3），

当P与圆C的交点为（0，2）时， = ，

当P与圆C的交点为（0，0）时， = ，

由题意， = ，∴t= （t=3舍去）

下面证明点N（0， ），对于圆C上任一点P，都有 为一常数

设P（x，y），则x2+（y﹣1）2=1，

∴ = = ，

∴ = ，

∴在y轴上存在定点N（0， ），满足：对于圆C上任一点P，都有 为一常数

【解析】（1）求出曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，利用待定系数法求经过这三个交点的圆C的一般方程；（2）由（1）可得C（﹣ ， ），消去a，求圆心C所在曲线的轨迹方程；（3）令x=0，得到圆C与y轴交于点（0，0），（0，2），由此求出点N（0， ），对于圆C上任一点P，都有 为一常数，再进行证明即可．
【考点精析】本题主要考查了圆的一般方程的相关知识点，需要掌握圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项；(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显才能正确解答此题．