Question

已知M（x，y）是区域

x-y+1≥0 x+ay-2≤0 x+4y+1≥0

内任一点，A（1，-2），若z=

OA

•

OM

的最大值为5，则a=

3

．

Answer 1

分析：画出约束条件

x-y+1≥0 x+ay-2≤0 x+4y+1≥0

的可行域，z=

OA

•

OM

通过坐标运算为z=x-2y，利用它的最大值，说明直线在y轴上的截距以及经过可行域内的点，代入含a的直线方程即可求出a的值．

解答：解：画出约束条件

x-y+1≥0 x+ay-2≤0 x+4y+1≥0

的可行域如图所示：
z=

OA

•

OM

=x-2y，即x-2y=z，因为目标函数的最大值为5，
所以z=5，即目标函数为直线x-2y=z，
直线x-2y-5=0与x+4y+1=0的交点是可行域的最优点为A（11，-3）时，函数取得最大值时，直线x+ay-2=0通过A点，
所以11-3a-2=0，解得a=3．
故答案为：3

点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．