Question

如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，

e1

，

e2

分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量

OP

=x

e1

+y

e2

，则把有序数对（x，y）叫做向量

OP

在坐标系xOy中的坐标．设

OA

=(-1，2)，

OB

=(3，2)，给出下列三个命题：
①

e1

=（1，0）；
②

OA

⊥

e1

；
③|

OB

|=

13

．
其中，真命题的编号是

①②

．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析：由平面向量基本定理，结合题意得到①正确；由题意算出

e1

•

e2

═

1

2

且

e1

²=

e2

²=1，从而得到

OA

•

e1

=（-

e1

+2

e2

）•

e1

=0，得

OA

⊥

e1

，得②正确；同理算出

OB

2=（3

e1

+2

e2

）²=19，得到|

OB

|=

19

，故③不正确．由此可得本题答案．

解答：解：∵

e1

=x

e1

+y

e2

，当且仅当x=1、y=0
∴向量

e1

的坐标为（1，0），即

e1

=（1，0），故①正确；
∵

e1

•

e2

=|

e1

|•|

e2

|cos60°=

1

2

，

e1

²=

e2

²=1
∴

OA

•

e1

=（-

e1

+2

e2

）•

e1

=-

e1

²+2

e2

•

e1

=-1+2×

1

2

=0
可得

OA

⊥

e1

，得②正确；
∵

OB

=(3，2)=3

e1

+2

e2

∴

OB

2=（3

e1

+2

e2

）²=9

e1

²+12

e1

•

e2

+4

e2

²=9+6+4=19
∴|

OB

|=

OB 2

=

19

，故③不正确
综上所述，真命题的编号为①②
故答案为：①②

点评：本题给出斜坐标系，判断几个命题的真假性．着重考查了向量数量积的定义和运算性质、平面向量基本定理等知识，属于中档题．