Question

如图，F₁，F₂分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF₂与椭圆C的另一个交点，∠F₁AF₂＝60°

(1)求椭圆C的离心率；

(2)已知△AF₁B的面积为40，求a，b的值

 

Answer 1

【答案】

(1);(2)

【解析】

试题分析：(1)要掌握椭圆的几何性质以及图形中对应的线段，上图中，，， （2）可用代数法，以为参数，写出直线方程，与椭圆方程联立求出点坐标，从而求出的面积，再利用面积为，求出，即求出；当然也可几何方法，由于，在中利用余弦定理，可把用表示出来，再利用面积为，可求出 

试题解析：(1)由题意可知，△AF₁F₂为等边三角形，a＝2c，所以e＝    3

(2)( 方法一)a²＝4c²，b²＝3c²

直线AB的方程可为y＝－(x－c)

将其代入椭圆方程3x²＋4y²＝12c²，               5

得B                7

所以|AB|＝·＝c         9

由S△AF₁B＝|AF₁|·|AB|sin∠F₁AB         10

＝a·c·＝a²＝40，

解得a＝10，b＝5               12

(方法二)设|AB|＝t

因为|AF₂|＝a，所以|BF₂|＝t－a

由椭圆定义|BF₁|＋|BF₂|＝2a可知，|BF₁|＝3a－t

再由余弦定理(3a－t)²＝a²＋t²－2atcos60°可得，

t＝a

由＝a·a·＝a²＝40知，a＝10，b＝5 

考点：（1）椭圆的离心率；（2）椭圆的定义和三角形的面积、余弦定理