Question

如图，抛物线C1：y2=4x的焦点到准线的距离与椭圆C2：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A，C₁，C₂在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且△OAB的面积为

2 6

3

（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）过点A作直线l交C₁于C，D两点，射线OC，OD分别交C₂于E，F两点．
（I）求证：O点在以EF为直径的圆的内部；
（II）记△OEF，△OCD的面积分别为S₁，S₂，问是否存在直线l，使得S₂=3S₁？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）p=2，得椭圆的长半轴a=2，由S△OAB=

1

2

×|OA|×yB=

2 6

3

，知yB=

2 6

3

．代入抛物线能求出椭圆C₂方程．
（2）（I）设直线l的方程为：x=my+2，由

x=my+2 y2=4x

，得y²-4my-8=0，利用韦达定理和向量的数量积导出∠COD＞90°，由此能证明O点在以EF为直径的圆的内部．
（II）

S1

S2

=

1 2 |OC|•|OD|sin∠COD

1 2 |OE|•|OF|sin∠EOF

=

|y1|

|yE|

•

|y2|

|yF|

，直线OC的斜率为

y1

x1

=

4

y1

，故直线OC的方程为x=

y1•y

4

．由此能推导出不存在直线l使得S₂=3S₁

解答：解：（1）p=2，得椭圆的长半轴a=2，
∵S△OAB=

1

2

×|OA|×yB=

2 6

3

，
∴yB=

2 6

3

．
代入抛物线求得B(

2

3

，

2 6

3

)，
∴椭圆C₂方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）（I）设直线l的方程为：x=my+2，
由

x=my+2 y2=4x

，得y²-4my-8=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，
∴x₁x₂=4，
∴

OC

•

OD

=x1x2+y1y2=-4＜0，
∴∠COD＞90°，
又∵∠EOF=∠COD，
∴∠EOF＞90°，
∴O点在以EF为直径的圆的内部．
（II）

S1

S2

=

1 2 |OC|•|OD|sin∠COD

1 2 |OE|•|OF|sin∠EOF

=

|y1|

|yE|

•

|y2|

|yF|

，
直线OC的斜率为

y1

x1

=

4

y1

，
∴直线OC的方程为x=

y1•y

4

．
由

x= y1•y 4 x2 4 + y2 3 =1

，
得yE2=

64×3

3y12+64

，yF2=

64×3

3y22+64

，
∴yE2•yF2=

64×32

121+48m

，
∴(

S2

S1

)2=

121+48m2

32

，
∵m∈R，∴

121+48m2

32

≥

112

32

∴

S2

S1

≥

11

3

＞3，
∴不存在直线l使得S₂=3S₁．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点在圆的内部的证明，探索满足条件的直线方程是否存在．综合性强，难度大，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理合理运用．