Question

（本题满分14分）

已知函数．

（1）当a = 2时，求f (x) 的最小值；

（2）若f (x)在[1，e]上为单调减函数，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）5－3ln2；（2）a≤。

【解析】

试题分析：(1) 当a = 2时，f (x) =" 2x+" －3lnx

f' (x) = 2－－= ………………2分

令 f' (x) = 0得x = 2或－（∵x>0，舍去负值）……………………3分

x	(0，2)	2	(2，+ ¥)
f' (x)	－	0	+
f (x)	↘	5-3ln2	↗

                                    ………………………………………5分

∴ 当a = 2时，函数 f (x) 的最小值为5－3ln2．………………… 6分

(2)∵ f' (x) = ，

令 h(x) = ax ²－3x－a = a(x－)²－，……………………8分

要使f (x)在[1，e]上为单调递减函数，只需f' (x)在[1，e]内满足： f' (x) ≤ 0恒成立，

∵ h (1) = －3<0

∴ h (e) = ae²－3e－a≤0，∴a≤………………11分

①当0≤a≤时，f' (x) ≤ 0恒成立

②当a < 0时，x=  Ï [1,e], ∴h(x)<0 (x Î [ 1, e])

∴ f' (x) <0, 符合题意．     ………………………………………13分

综上可知，当a≤时，f (x) 在[1，e]上为单调函数．…… 14分

（分离变量法，相应得分）

考点：利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性；

点评：本题需要注意的是：要满足f (x)在[1，e]上为单调减函数，需满足f'(x) ≤ 0在[1，e]上恒成立且不恒为0.不少同学都错认为“需满足f'(x) <0在[1，e]上恒成立”