Question

已知{a_n}是等差数列，{b_n}是各项为正的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n+b_n} 的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用条件求数列的首项和公差，公比，然后求等差数列和等比数列的通项公式．
（2）利用分组法求数列{a_n+b_n} 的前n项和S_n．

解答：解：（1）设等差数列{ a_n}的公差为d，等比数列{ b_n}的公比为q，则根据题意，得

a1+2d+b1q4=21 a1+4d+b1q2=13.

…（3分）
代入a₁=b₁=1，整理得 

2d+q4=20 4d+q2=12

，
消去d，得 2q⁴-q²-28=0，即q²=4，进而q=2，q=-2（舍去）．
所以 d=2．
数列{ a_n}，{ b_n}的通项公式分别为a_n=2n-1，b_n=2^n-1．…（7分）
（2）因为 a_n+b_n=2n-1+2^n-1，所以由分组求和的办法，可得Sn=

n(1+2n-1)

2

+

1•(1-2n)

1-2

=2n+n2-1．
…（10分）

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式，以及利用分组求和的方法求数列的前n项和S_n．