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在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,向量
m
=(1,cosB),
n
=(sinB,-
3
)
,且
m
n

(1)求角B的大小;
(2)若△ABC面积为
3
3
2
,3ac=25-b2,求a,c的值.
分析:(1)利用向量的数量积运算,根据向量垂直建立方程,即可求得角B的大小;
(2)利用余弦定理,三角形的面积公式,可得a,c的关系,解方程组,即可求得结论.
解答:解:(1)∵
m
=(1,cosB),
n
=(sinB,-
3
)

m
n
=(1,cosB)•(sinB,-
3
)
=1×sinB+cosB×(-
3
)
=sinB-
3
cosB

m
n
,∴
m
n
=0

sinB-
3
cosB=0
…(2分)
∵△ABC为锐角三角形,∴cosB≠0…(3分)
tanB=
3
,…(4分)
0<B<
π
2

B=
π
3
.…(5分)
(2)由b2=a2+c2-2accosB,得b2=a2+c2-ac,…(6分)
代入3ac=25-b2得3ac=25-a2-c2+ac,得a+c=5.…(7分)
S△ABC=
1
2
acsinB=
1
2
ac×sin
π
3
=
3
4
ac
…(9分)
由题设
3
4
ac=
3
3
2
,得ac=6…(10分)
联立
a+c=5
ac=6

解得
a=2
c=3
,或
a=3
c=2
.…(12分)
点评:本小题主要考查向量数量积、三角特殊值的运算,三角函数的基本关系,解三角形1等知识,考查化归与转化、方程的数学思想方法,以及运算求解能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

己知在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanC=
aba2+b2-c2

(Ⅰ)求角C大小;
(Ⅱ)当c=1时,求a2+b2的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•张掖模拟)在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.且
a-c
b-c
=
sinB
sinA+sinC

(1)求角A的大小及角B的取值范围;
(2)若a=
3
,求b2+c2的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
OP
=(2sin
x
2
,-1),
OQ
=(cosx+f(x),sin(
π
2
-
x
2
)),且
OP
OQ

(1)求函数f(x)的表达式,并指出f(x)的单调递减区间;
(2)在锐角△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且f(A)=-
2
,bc=8
,求△ABC的面积S.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b2=ac且sinAsinC=
34

(Ⅰ)求角B的大小.
(Ⅱ)求函数f(x)=sin(x-B)+sinx(0≤x<π)的最大值和最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos2C=-
3
4

(Ⅰ)求sinC;
(Ⅱ)当c=2a,且b=3
7
时,求a及△ABC的面积.

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