Question

已知正△ABC的顶点A在平面α上，顶点B，C在平面α的同一侧，D为BC的中点，若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：构建如图的三角形，不妨令正三角形的边长为1，设出B，C到面的距离，则DG的长度为两者和的一半，下研究DG的取值范围即可．
解答：解：设正△ABC边长为1，则线段AD=
设B，C到平面α距离分别为a，b，
则D到平面α距离为h=
射影三角形两直角边的平方分别为1-a²，1-b²，
设线段BC射影长为c，则1-a²+1-b²=c²，（1）
又线段AD射影长为，
所以（）²+=AD²=，（2）
由（1）（2）联立解得 ab=，
所以sinα==≥==，当a=b=时等号成立．
又α是个锐角，当面与面接近于垂直时，等边三角形的射影不可能是直角三角形，正弦值不可能趋近于1，故只能选B．
故选B
点评：考查线面角的求法，本题在做题中，线面角正弦的最小值易求出，而上界不易界定，此时宜根据选项用排除法筛选．