Question

7．在同一平面上，有△ABC和一点O，满足关系$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$，则O是△ABC的（　　）

• A． 外心
• B． 内心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{CB}$=0，即有OA⊥CB，同理得到OC⊥BA，所以点O是△ABC的三条高的交点，即为垂心．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$）=0，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{CB}$=0，
∴OA⊥CB，
同理由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$，
得到OC⊥BA，
∴点O是△ABC的三条高的交点，
即有O为三角形ABC的垂心．
故选：D．

点评 本题考查向量的数量积及向量的运算，考查推理能力，属于基础题．