Question

16．用适当方法证明下列不等式：
（Ⅰ）用综合法证明：若a＞0，b＞0，求证：（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）≥4；
（Ⅱ）用分析法证明：$\sqrt{6}+\sqrt{7}＞2\sqrt{2}+\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用基本不等式，再相乘，即得所证．
（Ⅱ）寻找使$\sqrt{6}+\sqrt{7}＞2\sqrt{2}+\sqrt{5}$成立的充分条件，直到使不等式成立的条件显然具备为止．

解答 证明：（Ⅰ）∵$a＞0，b＞0∴a+b≥2\sqrt{ab}$，…（2分）
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥2\sqrt{\frac{1}{ab}}$，…（4分）
∴（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）≥4．…（6分）
（Ⅱ）要证$\sqrt{6}+\sqrt{7}＞2\sqrt{2}+\sqrt{5}$．成立
只需证${（{\sqrt{6}+\sqrt{7}}）^2}＞{（{2\sqrt{2}+\sqrt{5}}）^2}$，…（8分）
即证$13+2\sqrt{42}＞13+4\sqrt{10}$，
只需证$\sqrt{42}＞2\sqrt{10}$，
即证42＞40显然为真，
故原式成立．…（12分）

点评 本题主要考查用综合法和分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．