Question

4．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个向量，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 利用两个向量垂直的性质以及平面向量的数量积定义，求得cosθ的值，可得向量的夹角θ的值．

解答 解：设向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1+1×$\sqrt{2}$×cosθ=0，
∴cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{3π}{4}$．
故答案为：$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查了两个向量垂直的性质以及平面向量数量积的定义问题，是基础题．