Question

14．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），记集合A={x∈R|f（x）≤0}，B={x∈R|f（f（x）+1）≤0}，若A=B≠∅，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [-4，4]
• B． [-2，2]
• C． [-2，0]
• D． [0，4]

Answer 1

分析 设集合A={x∈R|f（x）≤0}=[m．n]，利用B={x∈R|f（f（x）+1）≤0}，若A=B≠∅，求出m，n，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：设集合A={x∈R|f（x）≤0}=[m．n]，
则由f（f（x）+1）≤0，m≤f（x）+1≤n，
∴m-1≤f（x）≤n-1，
∴n-1=0，∴n=1，
∴f（x）=（x+a+1）（x-1），
∴m=-（a+1），
∵m-1≤f（x）_min，
∴-a-2≤$-\frac{{a}^{2}}{4}-a-1$且-（a+1）≤1，
∴-2≤a≤2．
故选B．

点评 本题考查二次函数的性质，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．