Question

2．在△ABC中，已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9，sinB=cosA•sinC，S_△ABC=6，P为线段AB上的点，且$\overrightarrow{CP}$=x•$\frac{{\overrightarrow{CA}}}{{|\overrightarrow{CA}|}}$+y•$\frac{{\overrightarrow{CB}}}{{|\overrightarrow{CB}|}}$，则$\frac{3}{x}$+$\frac{4x}{3y}$的最小值为3．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9，可得bccosA=9．又6=S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA，可得tanA=$\frac{4}{3}$，bc=15．由sinB=cosA•sinC，利用正弦定理可得b=$\frac{3}{5}$c，联立解得b，c．利用余弦定理可得a．
由于$\overrightarrow{CP}$=x•$\frac{{\overrightarrow{CA}}}{{|\overrightarrow{CA}|}}$+y•$\frac{{\overrightarrow{CB}}}{{|\overrightarrow{CB}|}}$，可得$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{3}x•\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{4}y$$\overrightarrow{CB}$，利用向量共线定理可得$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{4}$y=1．可得$\frac{3}{x}$+$\frac{4x}{3y}$=$\frac{3}{x}+\frac{4x}{12-4x}$=$\frac{3}{x}+\frac{x}{3-x}$=f（x），利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=9，∴bccosA=9，
∵6=S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA，
∴tanA=$\frac{4}{3}$，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=$\frac{3}{5}$．
∴bc=15．
∵sinB=cosA•sinC，
∴b=$\frac{3}{5}$c，
$\left\{\begin{array}{l}{bc=15}\\{b=\frac{3}{5}c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=5}\end{array}\right.$．
∴a²=b²+c²-2bccosA=3²+5²-18=16．
∴a=4．
∵$\overrightarrow{CP}$=x•$\frac{{\overrightarrow{CA}}}{{|\overrightarrow{CA}|}}$+y•$\frac{{\overrightarrow{CB}}}{{|\overrightarrow{CB}|}}$，
∴$\overrightarrow{CP}$=$\frac{1}{3}x•\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{4}y$$\overrightarrow{CB}$，
∴$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{4}$y=1．
∴3y=12-4x＞0．解得0＜x＜3．
则$\frac{3}{x}$+$\frac{4x}{3y}$=$\frac{3}{x}+\frac{4x}{12-4x}$=$\frac{3}{x}+\frac{x}{3-x}$=f（x），
f′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$+$\frac{3}{（3-x）^{2}}$=$\frac{9（2x-3）}{（3x-{x}^{2}）^{2}}$，
当$\frac{3}{2}＜x＜3$时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当$0＜x＜\frac{3}{2}$时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x=$\frac{3}{2}$时，f（x）取得最小值，$f（\frac{3}{2}）$=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、正弦定理、余弦定理、向量共线定理、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．