Question

过点M（1，0）作直线与抛物线y²=4x交于A、B两点，则

1

|AM|

+

1

|BM|

=

 

．

Answer 1

分析：先根据点斜式设出直线方程，代入抛物线方程消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂=，进而根据抛物线定义可知

1

|AM|

+

1

|BM|

=

1

x1+1

+

1

x2+1

即可求得答案．

解答：解：设直线的斜率为k，
若k存在，则设直线方程为y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1，
∴

1

|AM|

+

1

|BM|

=

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+x2+2

x1x2+x1+x2+1

=1．
若k不存在，直线方程为x=1，则A（1，2），B（1，-2），∴

1

|MA|

+

1

|MB|

=1，
综上，

1

|MA|

+

1

|MB|

=1，
故答案为1

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．再涉及焦点弦的问题时常可考虑用圆锥曲线的定义来解决．