Question

四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=

2

，AB=AC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C-AD-E的大小．

Answer 1

分析：（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．
（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小．

解答：解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，
∵AB=AC，∴AF⊥BC，
又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．
tan∠CED=tan∠FDC=

2

2

，∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．
（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．
∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，
则∠CGE即为所求二面角的平面角．CG=

AC•CD

AD

=

2 3

3

，
DG=

6

3

，EG=

DE2-DG2

=

30

3

，CE=

6

，
则cos∠CGE=

CG2+GE2-CE2

2CG•GE

=-

10

10

，
∴∠CGE=π-arccos(

10

10

)，
即二面角C-AD-E的大小π-arccos(

10

10

)．

点评：本题开叉证明通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，属于中档题．