Question

已知a=(cosa，sina)，b=(cosb，sinb)(0°<a<b<180°)。

（1）求证：a+b与a-b互相垂直；

（2）若ka+b与ka-b大小相等，求b-a。（其中kÎR且k¹0）。

Answer 1

答案：
解析：

［解法一］（1）依题意知a+b=(cosa+cosb，sina+sinb)  a-b=(cosa-cosb，sina-sinb)， 又(a+b)(a-b)=(cosa+cosb)(cosa-cosb)+(sina+sinb)(sina-sinb)=cos2a-cos2b+sin2a-sin2b=0， ∴ (a+b)^(a-b) （2）∵ ka+b=(kcosa+cosb，ksina+sinb)，ka-b=(kcosa-cosb，ksina-sinb) ∴ ∵ |ka+b|=|ka-b|，∴ 2kcos(b-a)=-2kcos(b-a)且k¹0，∴ cos(b-a)=0 又∵ 0°<a<b<180°  ∴ b-a=90°。 ［解法二］（1）由于(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=cos2a+sin2a-cos2b-sin2b=0 ∴ (a+b)^(a-b) （2）∵ |ka+b|=|ka-b|，∴ (ka+b)2=(ka-b)2，展开得ab=0，∴ cos(b-a)=0 由此可得b-a=90°。