Question

19．已知x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0（t∈R），图形是圆．
（1）求t的取值范围；
（2）求其中面积最大的t的值．

Answer 1

分析 （1）把已知方程用配方法化为圆的标准方程，再由r²＞0求出t范围；
（2）当半径最大时圆的面积最大，即求二次函数y═-7t²+6t+1的最大值，验证在对称轴的值是否取到；再代入r=$\sqrt{-7{t}^{2}+6t+1}$求出半径即可．

解答 解：（1）方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0，配方得
（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=（t+3）²+（4t²-1）²-16t⁴-9
即（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=-7t²+6t+1
∴r²=-7t²+6t+1＞0，解得：-$\frac{1}{7}$＜t＜1
（2）由（1）r=$\sqrt{-7{t}^{2}+6t+1}$知
∴当t=$\frac{3}{7}$∈（$\frac{1}{7}$，1）时，r有最大值即r=$\sqrt{-7×（\frac{3}{7}）^{2}+6×\frac{3}{7}+1}$=$\frac{4}{7}\sqrt{7}$，此时圆面积最大，

点评 本题考查了二元二次方程表示圆的条件和求半径的最大值，可用配方法将方程化为标准方程后，利用r²＞0求出参数的范围，求半径的最大值时需要验证对称轴的值是否取到．