Question

（2003•朝阳区一模）已知函数f（x）=

sin 5x 2

2sin x 2

-

1

2

．
（Ⅰ）将f（x）表示成cosx的整式；
（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）=cos²x+a（1+cosx）-cosx-3的图象在（0，π）内至少有一个公共点，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将已知f（x）=

sin 5x 2

2sin x 2

-

1

2

通分后利用和差化积公式与二倍角的正弦、积化和差公式及二倍角的余弦化简整理即可；
（Ⅱ）依题意，对g（x）化简得，g（x）=（1+cosx）²+1，由f（x）=g（x）（x∈（0，π））可求得a=1+cosx+

1

1+cosx

，依题意，利用基本不等式即可求得答案．

解答：（I）解：f（x）=

sin 5x 2

2sin x 2

-

1

2

=

sin 5x 2 -sin x 2

2sin x 2

…（2分）
=

2cos 3x 2 sinx

2sin x 2

…（4分）
=

2cos 3x 2 2sin x 2 cos x 2

2sin x 2

…（6分）
=2cos

3x

2

cos

x

2

=cos2x+cosx…（8分）
=2cos²x+cosx-1．…（10分）
（II）解：令h（x）=f（x）-g（x）
=2cos²x+cosx-1-[cos²x+a（1+cosx）-cosx-3]
=cos²x+2cosx+2-a（1+cosx）
=（1+cosx）²+1-a（1+cosx）
依题意，（1+cosx）²+1-a（1+cosx）=0．
∴a=1+cosx+

1

1+cosx

，…（12分）
∵x∈（0，π），
∴0＜1+cosx＜2．
∴a≥2

(1+cosx)• 1 1+cosx

=2，当且仅当1+cosx=

1

1+cosx

，cosx=0，即x=

π

2

时，等号成立．
∴当a≥2时，y=f（x）与y=g（x）的图象在（0，π）内至少有一个公共点．…（14分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查和差化积公式、积化和差公式与二倍角的正弦的应用，考查基本不等式，属于难题．