Question

椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，椭圆左准线与x轴交于E（-4，0），过E点作不与y轴垂直的直线l与椭圆交于A、B两个不同的点（A在E，B之间）
（1）求椭圆方程；   （2）求△AOB面积的最大值； （3）设椭圆左、右焦点分别为
F₁、F₂，若有

F1A

=λ

F2B

，求实数λ，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，e=

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4，结合a²=b²+c²可求a，b，c，从而可求椭圆的方程
（2）设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）由于l不与y轴垂直，设直线l：x=my-4，联立方程

x=my-4 x2 4 + y2 3 =1

消去x可得（3m²+4）y²-24my+36=0（*），由△＞0可得|m|＞2=

1+m2

12 m2-4

3m2+4

(|m|＞2)，原点O到直线l的距离d=

4

1+m2

，从而可求三角形的面积，利用基本不等式 可求面积的最大值
（3）由

F1A

=λ

F2B

，可得AF₁∥BF₂，根据平行线分线段成比例可求

解答：解：（1）设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0，c²=a²-b²）
∵e=

c

a

=

1

2

，

a2

c

=4
∴a=2，b²=3
所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁）由于l不与y轴垂直，设直线l：x=my-4
联立方程

x=my-4 x2 4 + y2 3 =1

消去x可得（3m²+4）y²-24my+36=0（*）
由△＞0可得|m|＞2|AB|=

1+m2

|y1-y2|=

1+m2

12 m2-4

3m2+4

(|m|＞2)
原点O到直线l的距离d=

4

1+m2

所以△AOB的面积S=

24 m2-4

3m2+4

，令t=

m2-4

＞0，m²=t²+4
则s=

24t

3t2+16

=

24

3t+ 16 t

≤

24

8 3

=

3

，当且仅当t=

4 3

3

即m2=

28

3

时取得最大值
（3）由

F1A

=λ

F2B

，可得AF₁∥BF₂
∴

AF1

BF2

=

EF1

EF2

=

4-1

4+1

=

3

5

实数λ=

3

5

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系的考查，注意利用基本不等式求解最大值的应用．