Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=

2

2

，点F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，过右焦点F₂且垂直于长轴的弦长为

2

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点F₁作直线l，交椭圆于P，Q两点，若

F2P

•

F2Q

=2，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．右焦点F₂（c，0），把x=c代入椭圆方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

．可得

2b2

a

=

2

．利用离心率计算公式及a，b，c的关系可得

2b2 a = 2 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解出即可．
（2）设直线l与椭圆的交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．分当直线l的斜率为0和不为时讨论，斜率不为0时设直线l的方程为my=x+1，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，再利用数量积

F2P

•

F2Q

=2，即可得出．直线l的斜率为0时比较简单．

解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
右焦点F₂（c，0），把x=c代入椭圆方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

．
∴

2b2

a

=

2

．
联立

2b2 a = 2 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得

a2=2 b=c=1

．
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设直线l与椭圆的交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
①当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为my=x+1．
联立

my=x+1 x2 2 +y2=1

，得（2+m²）y²-2my-1=0．
∴y1+y2=

2m

2+m2

，y1y2=

-1

2+m2

．
∵2=

F2P

•

F2Q

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=（my₁-2，y₁）•（my₂-2，y₂）=（m²+1）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4，
∴2=

-(m2+1)

2+m2

-

4m2

2+m2

+4，
化为m²=1，解得m=±1，
∴直线l的斜率k=

1

m

=±1．
设直线的倾斜角为α，则tanα=±1．
∴α=

π

4

或

3π

4

．
②当直线l的斜率为0时，P(-

2

，0)，Q(

2

，0)．

F2P

•

F2Q

=(-

2

-1)×(

2

-1)=-1≠2，不符合题意，应舍去．
综上可知：直线l的倾斜角α为

π

4

或

3π

4

．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的数量积等基础知识与基本技能，考查了分类讨论的思想方法、推理能力和计算能力．