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设函数y=log2(ax2-2x+2)定义域为A.
(1)若A=R,求实数a的取值范围;
(2)若log2(ax2-2x+2)>2在x∈[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(1)因为A=R,所以ax2-2x+2>0在x∈R上恒成立,根据二次函数的图象和性质,分析二次不等式恒成立时,a的取值范围,可得答案.
(2)若log2(ax2-2x+2)>2在x∈[1,2]上恒成立,所以a>
2x+2
x2
=2(
1
x
+
1
x2
)
在x∈[1,2]上恒成立,求出不等式右侧的最大值,即可得到实数a的取值范围.
解答:解:(1)因为A=R,所以ax2-2x+2>0在x∈R上恒成立.
①当a=0时,由-2x+2>0,得x<1,不成立,舍去,
②当a≠0时,由
a>0
x=4-8a<0
,得a>
1
2

综上所述,实数a的取值范围是a>
1
2

(2)依题有ax2-2x+2>4在x∈[1,2]上恒成立,
所以a>
2x+2
x2
=2(
1
x
+
1
x2
)
在x∈[1,2]上恒成立,
t=
1
x
,则由x∈[1,2],得t∈[
1
2
,1]

记g(t)=t2+t,由于g(t)=t2+t在t∈[
1
2
,1]
上单调递增,
所以g(t)≤g(1)=2,
因此a>4
点评:本题考查的知识点是对数函数的性质,恒成立问题,其中熟练掌握对数函数的单调性和定义域是解答本题的关键.
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