Question

设函数y=log₂（mx²-2x+2）定义域为A，集合
（1）A=R，求m的取值范围，
（2）A∩B≠∅，求m的取值范围
（3）log₂（mx²-2x+2）＞2在B上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数y=log₂（mx²-2x+2）定义域为R
∴mx²-2x+2＞0在R上恒成立
当m=0时，x＜1，不在R上恒成立，故舍去
当m≠0时解得m＞
∴A=R，求m的取值范围（，+∞）
（2）∵A∩B≠∅，
∴mx²-2x+2＞0在集合上有解
∴在集合上有解
∴=2
即m＞-4
（3）∵log₂（mx²-2x+2）＞2在B上恒成立
∴mx²-2x-2＞0在集合上恒成立
∴在集合上恒成立
即=6
∴m＞12
分析：（1）根据函数y=log₂（mx²-2x+2）定义域为R，则mx²-2x+2＞0在R上恒成立，讨论二次项系数与判别式可求出m的取值范围；
（2）根据A∩B≠∅，则mx²-2x+2＞0在集合上有解，然后利用参数分离法进行求解即可；
（3）根据log₂（mx²-2x+2）＞2在B上恒成立，则mx²-2x-2＞0在集合上恒成立，然后利用参数分离法进行求解即可．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的性质，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题．