Question

平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点．
（1）当•取最小值时，求的坐标；
（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．

Answer 1

解：（1）设 =（x，y），
∵点X在直线OP上，∴向量 与 共线．
又 =（2，1），∴x-2y=0，即x=2y．
∴=（2y，y）．又 =-，=（1，7），
∴=（1-2y，7-y）．
同样 =-=（5-2y，1-y）．
于是 •=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y²-20y+12=5（y-2）²-8．
∴当y=2时，•有最小值-8，此时 =（4，2）．
（2）当 =（4，2），即y=2时，有 =（-3，5），=（1，-1）．
∴||=，||=．
∴cos∠AXB==-．
分析：（1）因为点X在直线OP上，向量 与 共线，可以得到关于 坐标的一个关系式，再根据 •的最小值，求得 的坐标，
（2）cos∠AXB是 与 夹角的余弦，利用数量积的知识易解决．
点评：（1）中求最值问题可转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数；也可以利用 与 反向时，•有最小值进行求解．而（2）中即为数量积定义的应用．