Question

3．如图所示，已知PA⊥面ABC，S_△PBC=S，S_△ABC=S′，二面角P-BC-A的平面角为θ，求证S•cosθ=S′．

Answer 1

分析 作AD⊥BC，垂足为D，由三垂直线定理和三角形面积公式推导出S=S_△PBC=$\frac{1}{2}BC•PD$，S′=S_△ABC=$\frac{1}{2}BC•AD$，再利用三角函数知识能证明S•cosθ=S′．

解答 证明：作AD⊥BC，垂足为D，
∵PA垂直于⊥平面ABC，所以，∴PA垂直于⊥AD，PA⊥BC，
又∵AD⊥BC，AD∩PD=D，∴BC⊥平面PAD，
∵PD?平面PAD，∴PD⊥BC，
∴S=S_△PBC=$\frac{1}{2}BC•PD$，S′=S_△ABC=$\frac{1}{2}BC•AD$，
∵△PAD是直角三角形，二面角P-BC-A的平面角为θ，
∴∠PDA=θ，AD=PD•cosθ，
∴${S}^{'}=\frac{1}{2}BC•AD$=$\frac{1}{2}BC•（PD•cosθ）$=S•cosθ，
∴S•cosθ=S′．

点评 本题考查利用射影法求二面角余弦值公式的证明，是中档题，解题时要注意三垂线定理的合理运用．