Question

正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=

1

2

CD=2，点M是EC中点．
（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求三棱锥M-BDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取ED的中点N，连接MN．利用三角形的中位线定理可得MN∥DC，MN=

1

2

DC．再利用已知可得MN

∥

.

BA，即可证明四边形ABMN是平行四边形．再利用线面平行的判定定理即可证明．
（Ⅱ）利用三棱锥的体积计算公式可得V_M-BDE=V_B-DEM=

1

3

S△DEM•AD．

解答： （Ⅰ）证明：取ED的中点N，连接MN．
又∵点M是EC中点．
∴MN∥DC，MN=

1

2

DC．
而AB∥DC，AB=

1

2

DC．
∴MN

∥

.

BA，
∴四边形ABMN是平行四边形．
∴BM∥AN．
而BM?平面ADEF，AN?平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF．

（Ⅱ）解：∵M为EC的中点，
∴

S

△DEM

=

1

2

S

△CDE

=2，
∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE与CD相交于D
∴AD⊥平面CDE．
∵AB∥CD，
∴三棱锥B-DME的高=AD=2，
∴V_M-BDE=V_B-DEM=

1

3

S△DEM•AD=

4

3

．

点评：本题考查了三角形的中位线定理、梯形的定义、平行四边形的判定与性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．