Question

给定两个命题，P：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先对两个命题进行化简，转化出等价条件，根据P与Q中有且仅有一个为真命题，两命题一真一假，由此条件求实数a的取值范围即可．

解答：解：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立?a=0或

a＞0 △＜0

?0≤a＜4；
关于x的方程x²-x+a=0有实数根?1-4a≥0?a≤

1

4

；
如果P正确，且Q不正确，有0≤a＜4，且a＞

1

4

∴

1

4

＜a＜4；
如果Q正确，且P不正确，有a＜0或a≥4，且a≤

1

4

∴a＜0．
所以实数a的取值范围为(-∞，0)∪(

1

4

，4)．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，求解本题的关键是得出两命题为真命题的等价条件，本题寻找P的等价条件时容易忘记验证二次项系数为0面错，解题时要注意特殊情况的验证．是中档题．