Question

给定两个命题，P：对任意实数x都有x²+ax+a＞0成立；Q：关于x的方程x²-2x+a=0有实数根．若P或Q为真，P且Q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先对两个命题进行化简，再由P或Q为真命题，P且Q为假命题，转化出等价条件，两命题一真一假，由此条件求实数a的取值范围即可．

解答：解：若P为真：a=0时满足 或

a＞0 △1=a2-4a＜0

⇒0＜a＜4
∴0≤a＜4，令A={a|0≤a＜4}；
若Q为真：△₂=4-4a≥0⇒a≤1，令B={a|a≤1}
由题意：P或Q为真，P且Q为假，
得：P和Q只能是一真一假，可能P真Q假或P假Q真，
如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞1
∴1＜a＜4；
如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤1
∴a＜0；
所以实数a的取值范围为（-∞，0）∪（ 1，4）．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．