Question

已知函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-x²+2x+1．
（1）求f（x）的解析式，并作出图象；
（2）求f（x）最大值，并写出f（x）的单调区间．

Answer 1

解：（1）设x＜0，则-x＞0
因为函数f（x）为R上的偶函数，所以f（x）=f（-x）=-x²-2x+1
所以f（x）=…（4分）
图象如图
．…（6分）
（2）由图象可知：f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（0，1），f（x）的单调减区间为（-1，0），（1，+∞）…（8分）
f（x）的最大值为2．…（10分）
分析：（1）设x＜0，则-x＞0，根据函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-x²+2x+1，可得函数解析式，从而可得函数的图象；
（2）利用函数的图象，可得函数的单调区间与函数的最大值．
点评：本题考查函数的解析式，考查函数的奇偶性，考查函数的图象，考查数形结合的数字思想，属于中档题．