Question

已知m∈R，设p：不等式|m²-5m-3|≥3；q：函数f（x）=x³+mx²+（m+

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3

）x+6在（-∞，+∞）上有极值．求使p且q为真命题的m的取值范围．

Answer 1

分析：对于P命题要利用含绝对值不等式进行等价转化，并准确利用一元二次不等式求出m的范围；对于q命题利用导函数的图象为二次函数，进而得到原来函数在实数集有极值的m的范围，再利用复合命题真假值表即可求解

解答：解：由已知不等式得
m²-5m-3≤-3①
或m²-5m-3≥3②
不等式①的解为0≤m≤5；
不等式②的解为m≤-1或m≥6．
所以，当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时，p为真命题．
对函数f（x）=x3+mx2+(m+

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)x+6求导得，
f′（x）=3x²+2mx+m+

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令f′（x）=0，即3x²+2mx+m+

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=0，
当且仅当△＞0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上有极值．
由△=4m²-12m-16＞0得m＜-1或m＞4，
所以，当m＜-1或m＞4时，q为真命题．
综上所述，使p且q为真命题时，实数m的取值范围为
（-∞，-1）∪（4，5]∪[6，+∞）．

点评：该题重点考查了复合命题真假值表，另外又考了含绝对值不等式及一元二次不等次解法，在q命题真假的判断上有考查了导函数为二次函数的一元三次函数在实数集R存在极值的充要条件