Question

已知函数f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx(a≠0)
（1）若a=-2时，h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内单调递增，求b的取值范围；
（2）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M，N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求R的横坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由h（x）=lnx+x²-bx，由函数的单调性知h′(x)=

1

x

+2x-b≥0，由此不等式能求出b的取值范围．
（2）由题设条件，可设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有xR=xM=xN=

x1+x2

2

，令0＜x₁＜x₂，g′（x）=ax+b，假设R点存在，则

a(x1+x2)

2

+b=

2

x1+x2

，由此能推导出点R不存在．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx(a≠0)，
∴h（x）=lnx+x²-bx，
由h′(x)=

1

x

+2x-b≥0，
得到b≤

1

x

+2x在x∈（0，+∞）上恒成立，
因为

1

x

+2x≥2

2

，所以b≤2

2

…..（4分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则有xR=xM=xN=

x1+x2

2

，
令0＜x₁＜x₂，g′（x）=ax+b，
假设R点存在，则

a(x1+x2)

2

+b=

2

x1+x2

…..（6分）
又因为lnx1=

1

2

a

x

2 1

+bx1，lnx2=

1

2

a

x

2 2

+bx2，
得到

lnx1-lnx2

x1-x2

=

1

2

a(x1+x2)+b=

2

x1+x2

，
即ln

x1

x2

=2(

x1 x2 -1

x1 x2 +1

)…..（8分）
令t=

x1

x2

，设h(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

，t∈（0，1），
h′(t)=

(t-1)2

(t+1)2

＞0，得到h（t）在（0，1）内单调递增，
h（t）＜h（1）=0，假设不成立，所以点R不存在．…..（12分）

点评：本题考查函数的单调性的应用，探索满足条件的点是否存在．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想、分类讨论思想、函数方程思想的合理运用．