Question

若tanθ=

1

2

，θ∈（0，

1

4

π），则sin（2θ+

1

4

π）=

7 2

10

．

Answer 1

分析：由tanθ的值，以及θ的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ与cosθ的值，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简求出sin2θ与cos2θ的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：∵tanθ=

1

2

，θ∈（0，

1

4

π），
∴cosθ=

1 1+tan2θ

=

2

5

，sinθ=

1-cos2θ

=

1

5

，
∴sin2θ=2sinθcosθ=2×

1

5

×

2

5

=

4

5

，cos2θ=1-2sin²θ=1-2×（

1

5

）²=

3

5

，
则sin（2θ+

1

4

π）=（sin2θ+cos2θ）×

2

2

=

7 2

10

．
故答案为：

7 2

10

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．