Question

已知直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的左支交于不同两点A、B，若另有一条直线l经过P（-2，0）及线段AB的中点Q．
（1）求k的取值范围；
（2）求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

y=kx-1 x2-y2=1

，得（1-k²）x²+2kx-2=0．再由直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的左支交于不同两点A、B，利用根的判别式和韦达定理能求出k的取值范围．
（2）由直线l经过P（-2，0）及线段AB的中点Q，知直线l的方程为得x-（2k²+k-2）y+2=0，令x=0，解得直线l在y轴上的截距b=

2

2k2+k-2

．设f（k）=2k²+k-2=2（k+

1

4

）²-

17

8

，由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）由

y=kx-1 x2-y2=1

，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
直线y=kx-1与双曲线x²-y²=1的左支交于不同两点A、B，
∴

△=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k k2-1 ＜0 x1x2= 2 k2-1 ＞0

，解得-

2

＜k＜-1．
∴k的取值范围是（-

2

，-1）．（6分）
（2）∵直线l经过P（-2，0）及线段AB的中点Q，
设Q（x₀，y₀），∴

x0= k k2-1 y0=kx0-1= 1 k2-1

，
∴直线l的方程为：

y

x+2

=

1 k2-1

k k2-1 +2

，整理，得x-（2k²+k-2）y+2=0，
令x=0，解得直线l在y轴上的截距b=

2

2k2+k-2

．
设f（k）=2k²+k-2=2（k+

1

4

）²-

17

8

，
则f（k）在（-

2

，-1）上是减函数，
∴f（-1）＜f(k)＜f(-

2

)，且f（k）≠0，
∴-1＜f（k）＜2-

2

，且f（k）≠0，
∴b＜-2，或b＞2+

2

，
故直线l在y轴上的截距b的取值范围是（-∞，-2）∪（2+

2

，+∞）…12分

点评：本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查直线纵截距的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．