Question

【题目】在四棱锥中，四边形为菱形，且，，分别为棱，的中点．

（1）求证：平面；

（2）若平面，，求平面与平面所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见证明（2）

【解析】

（1）设的中点为，连接，，先证明，即证平面；（2）连接，，设，连接，连接. 分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.再利用向量方法求平面与平面所成二面角的正弦值为.

（1）证明：设的中点为，连接，.

∵，分别是，的中点，

∴，且.

由已知得，且.

∴，且.

∴四边形是平行四边形.

∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）连接，，设，连接，连接.

设菱形的边长为，由题设得，，，

平面，分别以，，为轴，轴，轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题设得，，，，，

∴，.

设是平面的法向量，

则，化简得，

令，则，.∴.

同理可求得平面的一个法向量.

∴.

∴平面与平面所成二面角的正弦值为.